三维几何对称性与等变神经网络

读分子、材料方向的模型论文或代码，总会撞上同一串词：invariant / equivariant、SO(3) / O(3) / SE(3) / E(3)、irreps、parity、frame。它们看着像数学装饰，其实每一个都对应一个具体的工程后果：模型能不能区分对映体、要不要做旋转数据增强、坐标要不要先去质心、加一层能不能提高体数。

这篇笔记把这串词串起来：先说清每个词指什么，再看主流架构分别用哪条路线把它编进网络，以及各自的代价。

1. 为什么用坐标做输入就必须考虑对称性

同一个分子，换一个坐标系写出来就是另一组数字，但它的能量、力、电荷一个都没变。坐标带的信息比结构本身多，多出来的那部分（放在哪、朝哪转）是任意的。直接把 $[N,3]$ 的坐标喂进网络，网络就得先自己把这部分多余的自由度学掉，才谈得上学真正的结构与性质之间的关系。对称性要解决的就是这件事。

物理上的说法是：对体系施加某些空间变换后，物理规律保持不变。把一个分子整体旋转， $x_i \rightarrow R x_i$ ，它的能量不变，力的方向跟着转，电荷不变。一个直接以 $(x, y, z)$ 为输入的网络，需要从数据里自己学会这些规律；等变神经网络（equivariant neural network）的思路是反过来，把对称性直接写进模型结构，让网络天然满足这些规律。

2. 群：一组可以组合的变换

群（group）描述的是一组可以连续组合的变换操作。所有三维旋转合在一起就构成旋转群，其中一个具体的元素 $g$ 就是一次具体的操作，比如 $g = R_z(90^\circ)$ 表示绕 $z$ 轴转 90°。下面讨论的所有对称性，都是在问「对输入做一个群元素 $g$ 的操作，输出会怎么变」。

3. 不变与等变

不变性（invariance）：

f(gX) = f(X)

输入变了，输出不动。能量就是典型： $E(RX) = E(X)$ ，旋转不改变分子能量。适用于 energy、formation energy、adsorption energy 这类标量性质。

等变性（equivariance）：

f(gX) = g\, f(X)

输入怎么变，输出按同样的规律跟着变。力是典型： $F(RX) = R\,F(X)$ ，把结构转过去，力的方向也转过去。适用于 force、velocity 以及一般的矢量、张量性质。

不变性可以看成等变性的特例：输出上的 $g$ 恰好什么都不做。

4. SO(3)、O(3)、SE(3)、E(3)

这四个都是三维空间里的变换群，区别只在于包含哪几种操作。

SO(3)，三维特殊正交群（special orthogonal group）：所有三维旋转。数学上是满足 $R^\mathsf{T} R = I$ 且 $\det R = 1$ 的矩阵。只有旋转，不含镜像。

O(3)，三维正交群（orthogonal group）：同样要求 $R^\mathsf{T} R = I$ ，但允许 $\det R = \pm 1$ 。 $\det = 1$ 是旋转， $\det = -1$ 是镜像。所以 $SO(3) \subset O(3)$ 。

SE(3)，三维特殊欧氏群（special Euclidean group）：旋转加平移， $x' = Rx + t$ ，也就是刚体运动。分子、蛋白、任何三维物体在空间里挪动都属于这一类。

E(3)，三维欧氏群（Euclidean group）：旋转、平移、镜像全包含， $E(3) = O(3) + \text{translation}$ ，是最完整的三维欧氏变换群。

	旋转	平移	镜像
SO(3)	✓
SE(3)	✓	✓
O(3)	✓		✓
E(3)	✓	✓	✓

5. 行列式在这里管什么

上面反复出现的 $\det$ 是区分旋转和镜像的开关，值得单独说清楚。

$|\det A|$ 是体积缩放，符号是空间方向。 $3\times 3$ 的展开式按第一行余子式展开：

\det A = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})

它等价于把三个行向量做标量三重积：

\det A = \mathbf a_1 \cdot (\mathbf a_2 \times \mathbf a_3)

这个形式最有用，因为它一次性解释了「模是体积、符号是方向」这两句断言： $\mathbf a_2 \times \mathbf a_3$ 的模是两向量张成的平行四边形面积，再点乘 $\mathbf a_1$ 得到高乘底面积，就是平行六面体的体积；点乘的正负取决于 $\mathbf a_1$ 落在 $\mathbf a_2 \times \mathbf a_3$ 的哪一侧，就是三个向量的左右手性。所以这两条不是独立的性质，是同一个式子的模和符号。

回到群： $\det = 1$ 保持空间方向，是旋转； $\det = -1$ 翻转空间，是镜像。SO(3) 只允许前者，O(3) 两者都允许。

6. 手性

如果一个结构无法通过旋转和平移变成自己的镜像，它就是手性的。写成式子：镜像为 $MX$ ，若不存在任何 $R$ 和 $t$ 使 $MX = RX + t$ ，则 $X$ 具有手性。

7. E(3) 还是 SE(3)：取决于任务

两者的区别只有一条：是否包含镜像。看起来像是数学上的细节，实际是任务决定的。

对普通材料的能量， $E(X) = E(MX)$ ，镜像不影响能量，用 E(3) 对称是合理的，而且多一条对称约束等于多一条免费的先验。

对手性催化、手性分子的性质，左右手结构的行为不同， $S(X) \neq S(MX)$ ，就不能强制 E(3)，只能保留 SE(3)，让模型有能力区分对映体。

8. 从 SchNet 到 LEFTNet：对称性是怎么被编进网络的

早期的机器学习势函数（MLIP）不知道旋转和平移对称性，只能靠大量数据把它学出来。之后的每一代模型，本质上都是在回答同一个问题：怎么把对称性做进结构里，同时尽量少损失表达力。

SchNet 只用原子间距离 $d_{ij}$ 作输入。距离天然是旋转不变量，所以模型自动满足不变性。代价是丢掉了方向信息。

DimeNet 在距离之外加入角度 $\theta$ ，几何信息多了一层，但仍然走的是「输入就是不变量」的路线。

PaiNN 开始让隐藏特征带方向：每个原子同时有标量特征（ $l = 0$ ）和矢量特征（ $l = 1$ ），矢量特征在旋转下跟着转。

NequIP 把这条路推到底：特征按 SO(3) 的不可约表示分解成 $l = 0, 1, 2, \dots$ ，分别对应标量、矢量、张量，层与层之间用张量积传递。

MACE 在 NequIP 的基础上引入 Atomic Cluster Expansion 的思想。两点值得单独记住：

它的默认配置是 O(3) 不变，不是 SO(3)。源码里球谐函数默认用 p=1，所有 $l$ 都标成偶宇称，反演下什么都不翻号；只有 hidden_irreps 里出现 0o 时才切换到追踪宇称的球谐。能量读出头是 0e（真标量），所以能量在镜像下必然不变。这是对的，对映体能量严格相等。
它数据效率高的原因是多体：correlation=ν 让一层就得到 $(\nu + 1)$ 体相互作用，而代价仍是 $O(N)$ （先求和再取幂，交叉项就是高阶体）。叠层数只扩感受野，每层仍是两体，替代不了这个。

LEFTNet 换了一条完全不同的路。前面从 SchNet 到 MACE，等变性都来自限制运算：MACE 只能做张量积，PaiNN / EGNN 只能做「标量乘矢量」。LEFTNet（Du et al., NeurIPS 2023，前身 ClofNet）反过来，限制坐标系：

code

1. 从局部几何造正交框  F = (e1, e2, e3)      ← F 本身等变
2. 标量化   v̄ = (v·e1, v·e2, v·e3)
3. 对标量做【任意】神经网络                    ← 无任何对称性约束
4. 张量化   v = v̄₁e1 + v̄₂e2 + v̄₃e3

等变性由框在第 1、4 步扛住，中间随便怎么算。这是它能声称万有逼近的原因，MACE / NequIP 那一路做不到这种声称。

框由差矢量和叉乘构成：

e_1 = \frac{p_i - p_j}{\|p_i - p_j\|}, \qquad e_2 = \frac{p_i \times p_j}{\|p_i \times p_j\|}, \qquad e_3 = e_1 \times e_2

两个后果值得记住：

手性只在 $e_2$ 分量的符号里。 $e_2$ 是伪矢量，所以 $v \cdot e_2$ 是伪标量。框本身恒为右手（ $\det \mathcal F \equiv +1$ ），手性不在行列式里。代码里一个 torch.abs() 就能把它抹掉。在 irreps 路线里丢不掉的东西，这里是一行代码的事。
框会退化：当 $p_i \parallel p_j$ ，也就是两原子与质心共线时， $e_2 = 0$ 。线性分子（CO₂、炔烃）去质心后每一对都共线，框塌成秩 1，而代码里的 +EPS 只防 NaN，信息是静默丢掉的。

9. 四条路线的对照

到这里第 8 节走过的其实是四条不同的技术路线：

路线	等变性来自	代表	表达力上限	手性
① 只用不变量	输入就是不变量（距离、角度）	SchNet, DimeNet	无法自然输出矢量；几何区分力有限	区分不了
② irreps + 张量积	CG 规则限制允许的运算	NequIP, MACE, EquiformerV2/V3	由 `lmax`、`correlation` 控制	parity 标签，是类型系统的一部分
③ 笛卡尔标量×矢量	隐藏矢量只能被标量缩放、被相对位置相加	PaiNN, EGNN	实质只有 $l = 0, 1$	区分不了
④ 局部框 + 标量化	框本身等变；标量化后运算无约束	ClofNet, LEFTNet	万有逼近	一个开关（`reflect_equiv`）

选择的实质是**「约束运算」还是「约束坐标系」**：

②③ 约束运算：对称性是结构性的，丢不掉；代价是表达力，以及 ② 的计算量。
④ 约束坐标系：表达力放开了，但框的良定性成为新的失效点，而且对称性变成可开关的软性质。

② 的计算量问题有专门的解法，EquiformerV2 的 SO(2) 技巧把 $O(L^6)$ 降到 $O(L^3)$ ；④ 的框退化问题目前只有 +EPS 和加 dummy 原子两种权宜之计。irreps 的记账方式、MACE 的逐模块拆解、LEFTNet 框的数值验证、EquiformerV2 的 SO(2) 技巧，后面会分别单独整理。